完全背包

在 01背包 的基础上，每个物品可以选任意个。

完全背包的推导公式是这样的：

// 二维
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = w[i]; j <= m; j ++)
        f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j - w[i]] + v[i]);

// 一维
// f[j]还没被用到，是上一层；f[j - w[i]] 被计算过了，是当前层
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = w[i]; j <= m; j ++)
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

这个公式是怎么来的？

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i], f[i-1][j-2*w[i]] + 2*v[i], ...)
f[i][j-w[i]] = max(      f[i-1][j-w[i]],        f[i-1][j-2*w[i]] + v[i],...)

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-w[i]]+v[i])

518. 零钱兑换 II

求总和

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        vector<int> dp(amount + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j ++)
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

求组合数。如 1、3 和 3、1。使用先物品再背包的方式无法表示出组合，但是先背包再物品可以表示出3在前还是在后。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i ++)
            for (int j = 0; j < n; j ++)
                if (i >= nums[j] && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]])
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
        return dp[target];
    }
};